Barisan Deret Aritmatika Dan Geometri

Blog Koma


Barisan dan Derek Geometri

merupakan salah satu bentuk model qada dan qadar yang juga memiliki ciri khusus yaitu setiap suku sesudahnya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan dengan kaki sebelumnya. Seperti mana “Pasukan dan Ririt Aritmetika” , di sini lagi dibahas tentang kaki ke-$n \, $ , suku perdua, sisipan, dan besaran $ t \, $ suku pertamanya. Hanya saja pada deret geometri terwalak jumlahan sampai takhingga kaki-sukunya yang di selidik n domestik artikel istimewa yaitu “Deret Geometri Lain Sampai”. Langsung saja simak penjelasan adapun bala dan deret geometri berikut ini.

Barisan Geometri

Pengertian barisan Geometri

Barisan Geometri

ialah suatu barisan yang memiliki perbandingan nan sama antara dua suku-suku nan berdekatan. Nilai neraca yang sejajar itu dinamakan rasionya yang disimbulkan dengan huruf $ \, r \, $ .

Misal barisannya : $ u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, u_5, \, u_6, \, u_7, …. $

Cara cak menjumlah rasio ($r$) adalah

$ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = \frac{u_4}{u_3} = … = \frac{u_n}{u_{n-1}}$

Adapun rumus suku ke-$n\, $ nya ialah $ \, u_n = ar^{kaki langit-1} $

dengan $ a $ = suku pertamanya ($u_1$), $ r $ = rasionya, dan $ u_n $ = tungkai ke-$n$

bagi memudahkan mengingat, rumus tungkai ke-$tepi langit \, $ ini boleh dibaca “arni”

Dari rumus suku ke-$n\, $ nya, dapat disusun barisan geometrinya,

$ u_n = ar^{n-1} $

$ u_1 = ar^{1-1} = ar^0 = a $

$ u_2 = ar^{2-1} = ar^1 = ar $

$ u_3 = ar^{3-1} = ar^2 $

$ u_4 = ar^{4-1} = ar^3 $

dan selanjutnya …..

sehingga tentara geometrinya : $ a, \, ar, \, ar^2, \, ar^3, \, …. $

Acuan :

1). Dari barisan berikut ini, manakah yang merupakan tentara Ilmu ukur?

a). 1, 2, 4, 8, ….. b). $\frac{1}{3} $, 1, 3, 9, 27, ….

c). 1, 2, 6, 8, 16, …. d). 3, 4, 8, 2, 12, …. e). 16, 8, 4, 2, 1, ….

Penyelesaian :

Disebut barisan geometri kalau perimbangan dua suku yang berhimpit sama. Mari kita cek setiap armada yang ada.

a). $ \underbrace{1, \, 2}_{\times 2} \underbrace{, \, 4 }_{\times 2} \underbrace{, \, 8 }_{\times 2} , …. $

Karena perbandingannya selalu setolok antara dua kaki yang berdekatan, maka barisan ini tertera laskar geometri dengan rasionya 2. Cara mencari rasionya :

$ r = \frac{2}{1} = 2 \, $ ataupun $ r = \frac{4}{2} = 2 \, $ ataupun $ r = \frac{8}{4}= 2 \, $ dan seterusnya.

b). $ \underbrace{\frac{1}{3}, \, 1}_{\times 3} \underbrace{, \, 3 }_{\times 3} \underbrace{, \, 9 }_{\times 3} \underbrace{, \, 27 }_{\times 3} , …. $

Perbandingannya sebanding, sehingga termuat angkatan geometri dengan rasionya 3.

c). $ \underbrace{1, \, 2}_{\times 2} \underbrace{, \, 6 }_{\times 3} \underbrace{, \, 8 }_{\times \frac{4}{3}} \underbrace{, \, 16 }_{\times 2} , …. $

Perbandingannya tidak sama, sehingga enggak termasuk armada Geometri.

d). $ \underbrace{3, \, 4}_{\times \frac{4}{3}} \underbrace{, \, 8 }_{\times 2} \underbrace{, \, 2 }_{\times \frac{1}{4}} \underbrace{, \, 12 }_{\times 6} , …. $

Perbandingannya tak sekelas, sehingga bukan termasuk tentara geometri.

e). $ \underbrace{16, \, 8}_{\times \frac{1}{2}} \underbrace{, \, 4 }_{\times \frac{1}{2}} \underbrace{, \, 2 }_{\times \frac{1}{2}} \underbrace{, \, 1 }_{\times \frac{1}{2}} , …. $

Perbandingannya sebanding, sehingga termasuk pasukan geometri dengan rasionya $ \frac{1}{2}$. Cara mencari rasionya :

$ r =\frac{u_2}{u_1} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \, $ alias $ r =\frac{u_3}{u_2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \, $ dan seterusnya.

2). Tentukan suku ke-21 berpokok barisan geometri 1, 2, 4, 8, 16, ….?

Perampungan :

*). semenjak barisannya diperoleh $ a = 1 \, $ dan $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{2}{1} = 2 $

*). Menentukan tungkai ke-21 dengan $ u_n = a r^{tepi langit-1} $

$ u_{21} = a r^{21-1} = 1 . 2^{20}= 2^{20} $

Kaprikornus, suku ke-21 nya yakni $ 2^{20} $ ($u_{21} = 2^{20} $).

3). Diketahui suku ke-3 dan suku ke-5 suatu angkatan ilmu ukur berturut-turut 9 dan 81 dengan rasionya positif. Tentukan nilai suku ke-2 nya!

Penyelesaian : diketahui $ u_3 = 9 \, $ dan $ u_5 = 81 $

Lakukan menentukan skor suku puas suatu pasukan, kita memerlukan nilai $ a \, $ dan rasionya ($r$) dengan menjabarkan tungkai-suku nan diketahui.

*). Rumus suku ke-$t\, \, : \, \, u_n = ar^{cakrawala-1} $

$ u_5 = ar^{5-1} = ar^4 \rightarrow a r^4 = 81 \, $ …. pers(i)

$ u_3 = ar^{3-1} = ar^2 \rightarrow a r^2 = 9 \, $ …. pers(ii)

*). Menentukan nilai $ a \, $ dan $ r \, $ dengan menjatah pers(i) dan pers(ii)

$ \begin{array}{cc} a r^4 = 81 & \\ a r^2 = 9 & : \\ \hline r^2 = 9 & \\ r = \pm 3 & \end{array} $

Karena nilai rasionya maujud, maka $ r =3 \, $ yang menunaikan janji.

Pers(ii) : $ a r^2 = 9 \rightarrow a 3^2 = 9 \rightarrow a = frac{9}{9} = 1 $

*). Menentukan kaki ke-2

$ u_{2} = ar^{2-1} = 1.3^1 = 3 $

Jadi, suku ke-2 nya adalah 3.

4). Jika suku-suku $ 4p, \, 3p-4, \, $ dan $ \, 2p – 4 \, $ adalah tiga suku pertama berurutan barisan geometri, maka tentukan suku ke-9 ?

Penyelesaian :

Diketahui : $ u_1 = 4p, \, u_2 = 3p-4, \, $ dan $ u_3 = 2p -4 $

*). Tiga suku berurutan barisan geometri, maka rasionya proporsional :

$ \begin{align} \frac{u2}{u_1} & = \frac{u_3}{u_2} \\ (u_2)^2 & = u_1 . u_3 \\ (3p-4)^2 & = (4p).(2p-4) \\ 9p^2 -24p + 16 & = 8p^2 -16 p \\ p^2 – 8p + 16 & = 0 \\ (p-4)^2 & = 0 \\ p – 4 & = 0 \\ p & = 4 \end{align} $

diperoleh poin $ p = 4 $

*). Menentukan skor $ a \, $ dan $ r \, $ dengan nilai $ p = 4 $

$ a = u_1 = 4p = 4.4 = 16 = 2^4 $

$ u_2 = 3p – 4 = 3.4 – 4 = 12 – 4 = 8 $

$ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} $

*). Menentukan suku ke-9

$ \begin{align} u_n & = ar^{falak-1} \\ u_9 & = 2^4. \left( \frac{1}{2} \right)^{9-1} \\ & = 2^4. \left( \frac{1}{2} \right)^{8} \\ & = 2^4. \left( \frac{1^8}{2^8} \right) \\ & = 2^4. \left( \frac{1}{2^8} \right) \\ & = \frac{1}{2^4} \\ & = \frac{1}{16} \end{align} $

Makara, skor suku ke-9 nya adalah $ \frac{1}{16} $ .

Kaki Perdua laskar Geometri

Menentukan kaki tengah ($u_t$)

Barisan ilmu ukur mempunyai suku tengah dengan syarat banyak suku harus ganjil. Suku paruh disimbolkan $ u_t \, $ nan boleh dicari nilainya bermula pasukan yang banyak sukunya berhingga.

Rumus suku perdua : $ u_t = \sqrt{u_1.u_n} $

Keterangan :

$ u_1 \, $ = suku pertama barisan yang dicari suku tengahnya,

$ u_n \, $ = tungkai terakhir barisan yang dicari suku tengahnya.

Lengkap :

Tentukan angka kaki paruh berpokok setiap barisan geometri berikut !

a). 1, 2, 4, 8, 16 b). $\frac{1}{9}, \, \frac{1}{3}, \, $ 1, 3, 9, 27, 81

Penyelesaian :

a). Tungkai tengahnya adalah 4, caranya : $ u_t = \sqrt{u_1.u_n} = \sqrt{1\times 16} = \sqrt{16} = 4 $

b). Suku tengahnya adalah 3, caranya : $ u_t = \sqrt{u_1.u_n} = \sqrt{\frac{1}{9} \times 81} = \sqrt{9} = 3 $

Sisipan pada armada Geometri

Menentukan legiun baru setelah disisipkan $ k \, $ suku atau bilangan

Misalkan awalnya ada pasukan : $ u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, …. $

Setiap dua kaki lega legiun diatas disisipkan bilangan sebanyak $ k \, $ suku, maka akan terbentuk barisan baru yang tetap dalam bentuk barisan geometri. Di sini yang sangat berperan penting adalah terbentuknya rasio yunior pasca- disisipkan.

Rumus proporsi barunya : $ r^* = \sqrt[k+1]{r} = (r)^\frac{1}{k+1} $

Pengetahuan :

$ r \, $ = proporsi awal berpangkal barisan sebelum disisipkan

$ r^* \, $ = proporsi yunior setelah barsian disisipkan (rasio barisan baru)

$ k \, $ = banyak suku yang disisipkan.

Contoh :

Diketahui laskar 1, 8, 64, 512, …. . Setiap antara dua suku disisipkan 2 bilangan. Tentukan armada baru nan terjaga?

Penyelesaian :

Bagi menyempilkan 2 kodrat, kita tidak boleh menyelipkan sebarang qada dan qadar, karena legiun baru yang terbentuk harus tetap berbentuk barisan geometri. Sebaiknya dijamin tetap terjaga laskar geometri, maka kita harus menunggangi rumus bagi mencari rasio barunya.

*). Dari barisan 1, 8, 64, 512, …. diperoleh rasio awal $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{8}{1} = 8 $

*). akan disisipkan 2 kadar, artinya $ k = 2 $

Sehingga raasio barunya : $ r^* = (r)^\frac{1}{k+1} = (8)^\frac{1}{2+1} = (2^3)^\frac{1}{3} = 2^1 = 2 $

Barisan barunya dengan perbandingan baru 2 merupakan :

$ 1, \underbrace{ 2, 4}_{\text{sisipan}} , 8 , \underbrace{ 16, 32}_{\text{infiks}} , 64 , \underbrace{ 126, 256}_{\text{sisipan}} , 512, …. $

dimana barisan yang bau kencur ini sekali lagi berbentuk armada geometri.

Ririt Geometri

Total $ n \, $ suku pertama derek geometri

Baris geometri merupakan jumlahan dari suku-tungkai lega barisan geometri. Jumlahan nan dimaksud adalah penjumlahan bagi bilang kaki berhingga ($ n \, $ suku pertama). Simbol yang digunakan adalah $ s_n \, $ yang artinya jumlah $ n \, $ suku pertama.

Misalkan :

$ s_1 = u_1 \, $ (jumlah 1 suku mula-mula)

$ s_2 = u_1 + u_2 \, $ (kuantitas 2 tungkai pertama)

$ s_3 = u_1 + u_2 + u_3 \, $ (besaran 3 suku pertama)

$ s_4 = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 \, $ (jumlah 4 kaki pertama)

dan seterusnya.

Bagaimana sekiranya yang dijumlahkan sukunya banyak sekali, maka kita akan menggunakan rumusnya langsung. Berikut rumus jumlah $ cakrawala \, $ suku pertama ririt geometri.

Jumlah $ horizon \, $ suku pertama : $ s_n = \frac{a(r^n – 1)}{r-1} \, $ bikin $ -1 < r < 1 $

Jumlah $ kaki langit \, $ suku pertama : $ s_n = \frac{a(1 – r^t)}{1-r} \, $ bikin $ r < -1 \, $ alias $ \, r > 1 $

Catatan :

Sebenarnya kedua rumus $ s_n \, $ di atas nilainya sama saja buat semua spesies rasionya, sehingga sepan diingat salah satu saja.

Testimoni : $ s_n = \frac{a(r^tepi langit – 1)}{r-1} = \frac{a(r^kaki langit – 1)}{r-1} \times \frac{-1}{-1} = \frac{a(1 – r^ufuk)}{1-r} $

Contoh :

1). Tentukan total 5 suku pertama semenjak barisan 1, 2, 4, 8, ….?
Penuntasan :

*). Dari legiun diperoleh $ a = 1 \, $ dan $ r = \frac{2}{1} = 2 $

Jumlah 5 suku pertamanya :

$ \begin{align} s_n & = \frac{a(r^n – 1)}{r-1} \\ s_5 & = \frac{1.(2^5 – 1)}{2-1} \\ & = \frac{(32 – 1)}{1} \\ & = 31 \end{align} $

Jadi, jumlah 5 suku pertamanya adalah 31.

         Bisanya untuk soal-soal seleksi timbrung perguruan strata, pertanyaan-soalnya langsung menyertakan barisan dan deret aritmetka dan geometri. Semoga lebih menguasai materinya, sebaiknya kita lebih banyak tuntunan lagi mengamalkan soal-soal nan terserah.

Source: https://www.konsep-matematika.com/2015/09/barisan-dan-deret-geometri.html

Posted by: gamadelic.com